浅谈两部影片中的数学（科普向）

两部电影实为整体，不可分割，因此写在同一篇影评中。（截至发文日时，第一部有14.8w人看过，第二部有9.9w人看过，相差之多令我惊奇）

1. 斐波那契数列(Fibonacci Sequence)

1202年由意大利数学家 Leonardo Fibonacci 以兔子繁殖为模型提出，又名“兔子数列”，从第三项开始，每一项为前两项之和。

若将第0项设为0，第1项设为1，通项公式为

神奇之处也在于此，通项公式中充满了无理数，但每一项却一定都是整数。

自然界中的出现的斐波那契数列不必多说，蜗牛、贝壳、向日葵、花瓣、旋转楼梯等例子大家都已耳熟能详。谈一个特殊的例子，影片中常常提到的树，如果对养分不加限制，每一代的枝杈数理论上也是斐波那契数列。

斐波那契数列象征着某种“繁衍生息”，与性联系起来也不无道理。

2. 斐波那契数列与勾股定理

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89……

任意连续4个斐波那契数，可以构造出一组勾股数，不妨设其为：a, b, a+b, a+2b。

取外层两数乘积，再取中间两数之积再乘2，再取中间两数平方和。这三个数即满足勾股定理。

证明：

若取1, 1, 2, 3四项，则得到三个数为3, 4, 5；若取1, 2, 3, 5四项，则得到三个数为5, 12, 13，皆为耳熟能详的勾股数组。

3. 斐波那契数列与黄金分割

斐波那契数列又名“黄金分割数列”，黄金分割值约为0.618，又一说为1.618，实际上为其倒数，没有本质区别。

精确值为(√5-1)/2，为方程x+1=1/x的正根，同时也是斐波那契数列相邻两项比值的极限，即截图的左上角。

从通项公式可以看出，当n→∞时，因(√5-1)/2绝对值小于1，它的n次方是趋于0的。所以前一项与后一项的比值极限应为(√5+1)/2 ≈ 1.618，即黄金分割。

4. 芝诺悖论(Zeno's Paradox)

影片中提到了芝诺悖论中的“阿基里斯追乌龟”部分。仅从空间尺度看，阿基里斯每前进到乌龟在上一个阶段的位置，乌龟也行进了一段距离，按如此的阶段划分，阿基里斯不可能在有限个阶段内追上乌龟。

问题的关键在于，无穷个阶段后呢？如果把时间加入讨论，阿基里斯的速度比乌龟的速度大，那么每个阶段行进的距离都在缩短，每个阶段行进的时间也在缩短直到趋于0。如果你认同数学上的“无穷级数”理论，也就是这无穷多段的时间长度之和可以是有限的数，那也就代表了阿基里斯可以在有限的时间内追上。

从数学上讲，芝诺悖论是一个极限问题，用通俗的语言来说，就是无穷个数的和可能是有限的吗？答案当然是肯定的，比如经典的“0.999999…和1相等”。

但从哲学上来讲，这是一个时间尺度问题，如果阿基里斯的每一个行动阶段所花费的时间不会降低呢？如果阿基里斯的速度会随着离乌龟越来越近而越来越小呢？再往下想，运动是连续的吗？时空是连续的吗？我们实际上无法在认同这些公理之前回答芝诺的问题。

从另一个角度来看，以追上乌龟的时刻为节点，我们可以将其看做是“乌龟宇宙大爆炸”的时间起点，从这以后这个维度内的生物可以使用新的时间尺度，新的开始。之前没追上的时候呢？更像是“大爆炸”前的混沌和虚无。电影中女主在追求高潮，以此为节点，女主也可以看成是获得了“新生”。